مانایی، ایستایی، سکون چیست؟

سریهای زمانی، یکی از مهمترین داده های اماری مورد استفاده در تجزیه و تحلیل تجربی هستند. در تحقیقات همواره چنین فرض شده که سری زمانی ماناست و اگر این حالت وجود نداشته باشد، آزمون های اماری که اساس آن ها بر پایه t ، F، خی دو و ... بنا شده است، مورد تردید قرار می گیرد. از طرفی اگر متغیرهای سری زمانی مانا نباشد، ممکن است مشکلی به نام رگرسیون کاذب بروز کند.
یک متغیر سری زمانی وقتی ماناست که میانگین، واریانس و ضریب خود همبستگی آن در طول زمان ثابت باقی بماند.
مانایی دو حالت دارد: ضعیف و قوی. ما معمولا حالت ضعیف را بررسی می کنیم. اگر تمامی گشتاورها در طول زمان ثابت باشد، سری، مانای قوی است؛ ولی اگر گشتاورهای مرتبه اول و دوم ثابت باشد سری مانای ضعیف است.

نحوه ی استفاده از جدول احتمال توزیع نرمال استاندارد

هنگام استفاده از جدول نرمال همواره باید به توضیحات بالای جدول دقت کنیم و ببینیم جدول برای چه مقادیری ارائه شده است.
جدولی که در زیر مشاهده می کنید سطح زیر منحنی را از نقطه ی صفر تا z ارائه می کند.

نکات:
1- با توجه به اینکه توزیع های نرمال قرینه هستند نیازی نیست که احتمال مربوط به مقادیر منفی z را نیز در جدول بنویسیم. یعنی

2-

برای به دست آوردن مقادیر جدول اولین گام رسم شکل توزیع نرمال و مشخص کردن مقدار مورد نظر از روی شکل و سپس استفاده از جدول است. در اینجا با چند مثال استفاده از جدول فوق را نشان می دهیم
مثال 1: 
ابتدا

همان گونه که مشخص است این با شکل بالای جدول منطبق است بنابراین کافی است مقدار 1.96 را از کناره های جدول به دست آورده و احتمال آنرا بنویسیم.
1- ابتدا سطری را پیدا می کنیم که که در ان z برابر 1.9 باشد
2- سپس در طول سطر پیش می رویم تا به ستونی برسیم که در بالای آن مقدار 6 نوشته شده است از وصل کردن این سطر و ستون ( شکل زیر)

احتمال مورد نظر یعنی 0.475 به دست می آید بنابراین
مثال 2: 
ابتدا

برای محاسبه این احتمال از روی جدول نیاز است دو مقدار

را به دست آورده و از هم کم کنیم تا به مقدار مورد نظر برسیم بنابراین

با توجه به جدول داریم

بنابراین

مثال 3: 
ابتدا

برای محاسبه این احتمال از روی جدول نیاز است دو مقدار

را به دست آورده و با هم جمع کنیم تا به مقدار مورد نظر برسیم بنابراین

با توجه به قرینه بودن توزیع نرمال استاندارد نسبت به صفر می دانیم

با توجه به جدول داریم

بنابراین

مثال 4: 
ابتدا

با توجه به قرینه بودن توزیع نرمال استاندارد نسبت به صفر می دانیم

و این مقدار در مثال 2 محاسبه و برابر 0.1062 است.
مثال 5: 
ابتدا

برای محاسبه این مقدار نیاز است دو مقدار

را محاسبه و از هم کم کنیم، بنابراین

بنابراین

مثال 6: 
ابتدا

با توجه به قرینه بودن توزیع نرمال استاندارد نسبت به صفر می دانیم

و مانند مثال قبل داریم

بنابراین

اگر توزیع نرمال مورد بررسی استاندارد نباشد نیاز است ابتدا آن را به نرمال استاندارد تبدیل کرده سپس از جدول فوق برای محاسبه احتمال استفاده کنیم.
مثال 7: اگر X دارای توزیع نرمال با میانگین 952 و واریانس 16 باشد احتمال های زیر را به دست آورید.
الف) 
ب) 
ابتدا باید توسط فرمول زیر مقادیر را به نرمال استاندارد تبدیل کنیم

بنابراین
الف) 
ب)

 

آزمون فریدمن

آزمون فریدمن یک آزمون ناپارامتری است که برای مقایسه سه یا بیش از سه گروه وابسته که حداقل در سطح رتبه ای اندازه گیری می شوند،مورد استفاده قرار می گیرد. این آزمون می تواند در مورد داده های پیوسته (فاصله ای یا نسبی) نیز به کاربرده شود، اما در هنگام محاسبه این داده ها نیز رتبه بندی آن ها مدنظر قرار می گیرد. آزمون فریدمن معادل ناپارامتری آزمون F وابسته در تحلیل واریانس اندازه های تکراری است. در این حالت برای اجرای تحلیل واریانس داده های تکرار شده ضرورتی به وجود فرضیاتی مانند نرمال بودن توزیع، برابری واریانس ها و پیوسته بودن مقیاس وجود ندارد. بنابراین در تحلیل واریانس اندازه های تکراری چنانچه یک یا همه فرضیات ابتدایی مذکور رد شوند، از آزمون فریدمن استفاده می شود. 

فرضیه ی صفر در این آزمون بیان می کند که توزیع مشاهدات در سنجش های تکرارشده یکسان هستند. یا به عبارت دیگر میان توزیع های ایجاد شده در اثر سنجش های مکرر روی یک گروه و یا بین گروه های همتا در زمینه متغیر وابسته تفاوتی وجود ندارد. محاسبه ی آماره ی فریدمن که آن را با χ_r^2 نشان می دهند با استفاده از رابطه زیر امکان پذیر است به دو روش صورت می گیرد :

 

که در آن SS_br مجموع مجذورات رتبه ای بین توزیع ها و k تعداد مقوله ها یا توزیع ها می باشد که رتبه بندی در مورد آن ها صورت می گیرد.

 

که در آن N تعداد آزمودنی ها، k تعداد مقوله ها یا توزیع ها می باشد که رتبه بندی در مورد آن ها صورت می گیرد و T_g جمع رتبه های گروه g ام می باشد. مقدار SS_br نیز از رابطه زیر حاصل می شود : 

 

در این رابطه N_a تعداد کل رتبه های تمام گروه ها و T_all جمع کل رتبه های اختصاص داده شده به آزمودنی ها می باشند. مقدار آماره این آزمون با مقدار بحرانی حاصل از جدول توزیع کای دو با k-1 درجه آزادی و در سطح اطمینان مورد نظر، که معمولا95% می باشد، مقایسه می شود. چنانچه χ_r^2 بزرگتر از مقدار بحرانی جدول باشد، فرضیه صفر تأیید نمی شود. 

مثال : پژوهشگری می خواهد عملکرد رئیس دانشگاه را در خصوص سه بخش آموزشی، عمرانی و اداری-مالی از نظر 10 متخصص بررسی نماید که آیا بین عملکرد وی در قسمت های مختلف تفاوت معنی داری وجود دارد یاخیر؟ برای این منظور از متخصصان می خواهد نظرات خود را براساس یک مقیاس 10 درجه ای که در آن 1 نشانگر عملکرد «بسیار ضعیف» و 10 نشان دهنده ی «عملکرد عالی» است، درجه بندی نمایند. پس از جمع آوری اطلاعات مقدار آماره فریدمن برابرχ_r^2=9.95 محاسبه شد. مقدار حاصل از جدول با k-1=3-1=2 درجه آزادی در سطح خطای 0.05 نیز 5.9 بدست آمد. بنابراین در سطح اطمینان 95% چون χ_r^2=9.95>5.9 فرضیه صفر تأیید نمی شود یعنی بین عملکرد رئیس دانشگاه در حوزه های آموزشی، عمرانی و اداری-مالی تفاوت معنی داری وجود دارد.

منبع : پژوهش، پژوهشگری و پژوهشنامه نویسی / نوشته خلیل میرزایی / انتشارات جامعه شناسان / 1388.

رسم نمودار برای جدول متقاطع در نرم افزار spss

اطلاعاتی که در این بخش مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند از فایل demo است.
در این فایل عوامل موثر بر خرید افراد مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. متغیرهای مالکیت دستگاه دیجیتالی (ownpda)، میزان درامد افراد به صورت طبقه بندی شده (inccat) و سطح تحصیلات (ed) مورد استفاده قرار می گیرد.
در مقاله روش به دست آوردن جدول متقاطع روش به دست آوردن جدول متقاطع بین دو متغیر مالکیت و سطح درآمد را توضیح دادیم در این قسمت قصد داریم نتایج یک جدول متقاطع را در نمودار ستونی نشان دهیم.
برای به دست آوردن نمودار ستونی دسته بندی شده (Clusterd bar charts) ابتدا از منوها موارد زیر را انتخاب می کنیم.

Analyze > Descriptive statistics > crosstabs  

کادر گفتگوی crosstabs باز می شود و مانند شکل زیر در قسمت سطر (Rows) متغیر درآمد inccat و در قسمت ستون (columns) متغیر مالکیت دستگاه دیجیتالی ownpda را وارد کرده و گزینه Display clustered bar charts را فعال می کنیم.

شکل زیر به دست می آید.

با توجه به اینکه تعداد نمونه ها در گروه های مختلف درآمد برابر نیستند بنابراین مقایسه طول ستون ها در گروه های مختلف درامد امکان پذیر نیست. 
هدف اصلی این نمودار مقایسه طول ستونها در هر دسته و بررسی وجود الگو در دسته های مختلف است بنابراین نیاز است نموداری به دست اوریم که بر حسب درصد بیان شده باشد.
نمودارهای ستونی پشته شده:
در نمودارهای ستونی دسته بندی شده می توان ستون ها را بر روی هم قرار داد که نتیجه آن نمودار ستونی پشته شده (stack) است.
به طور ایده آل می خواهیم تمام ستونها طول برابری داشته باشند تا بتوانیم به سادگی نواحی مختلف ستون ها را با هم مقایسه کنیم. در حقیقت نموداری می خواهیم که محور عمودی بر حسب درصد باشد و تمام ستون ها به صورت 100 درصد نشان داده شوند.

همان طور که از شکل فوق مشخص است با افزایش درآمد مالکیت نیز افزایش یافته است
برای به دست آوردن نمودار ستونی پشته شده از منوها موارد زیر را انتخاب می کنیم.

Graphs > legacy Dialogs > Bar  

در کادر گفتگوی Bar charts شکل زیر گزینه Bar stackd را انتخاب و بر گزینه Define کلیک می کنیم.

در کادر گفتگوی Define Stacked Bar شکل زیر در قسمت Bar represent گزینه % of cases را فعال کرده و در قسمت Catgory Axis متغیر inccat و در قسمت Define clusterd by متغیر Ownpda را وارد و بر گزینه ok کلیک می کنیم.

برای به دست نمودار به صورت شکل فوق در پنجره خروجی بر روی نمودار دو بار کلیک کرده و پس از وارد شدن به پنجره ویرایشگر موارد زیر را انتخاب می کنیم.

options > Scale to 100%

کدام یک از شاخص های مرکزی بر دیگری برتری دارد؟

در مقالات قبلی بیان شد که شاخص های مرکزی شامل میانگین، میانه و مد است در این قسمت قصد داریم به این سوال پاسخ دهیم که کدام یک از شاخص های مرکزی بر دیگری برتری دارد؟
جواب به این سوال بستگی به عوامل مختلفی دارد.

• داده ها و متغیر تصادفی ما از چه نوعی است؟
• آیا داده ها متقارن هستند؟
• با توجه به ساختار داده ها مجاز به استفاده از کدام شاخص هستیم.

اولین نکته ای که باید به آن توجه نمود این است که همه شاخص ها را برای هر ساختار داده ای نمی توان به کار برد.
مثال: اگر متغیر ما رنگ چشم افراد جامعه باشد محاسبه میانگین و میانه برای آن بی معنی است و تنها شاخصی که می توان به آن توجه کرد مد (نما) است.
نکته:
محاسبه شاخص ها و بیان آنها در تحقیقات باید بر اساس هدف و روش تحقیق باشد و بیان کلیه شاخص ها بدون اینکه برای تحقیق ما اهمیت و معنی خاصی داشته باشند نه تنها لازم نیست بلکه باعث سر درگمی می شود.
بنابراین در محاسبه و بیان شاخص ها باید به دو نکته توجه کرد.

• آیا از این شاخص برای داده های فوق می توان استفاده نمود؟
• آیا این شاخص برای هدف ما مناسب است؟

متغیر تصادفی چیست؟ پارامتر چیست؟ آماره چیست؟

پارامتر چیست؟:

برای بیان مفهوم فوق بهتر است سوال زیر را در نظر بگیریم.
چند درصد مردم ایران در حال حاضر به سیگار اعتیاد دارند. جواب این سوال یک عددثابت اما مجهول است. به صفت یا مشخصه ای در مورد جامعه که مجهول است و قصد بررسی و محاسبه آنرا داریم پارامتر گفته می شود.

متغیر چیست؟:

حال باید به نحوی به محاسبه این پارامتر (درصد معتادان ایران) بپردازیم. با توجه به اینکه این مقدار برای هر عضو جامعه متغیر است ( معتاد است یا معتاد نیست) و تا انتخاب آن عضو مجهول باقی می ماند بنابراین به آن متغیر تصادفی یا به اختصار متغیر می گوییم.

بنابراین صفت مورد بررسی در جامعه که از عضوی به عضو دیگر تغیر می کند را متغیر می گوییم.

این متغیرها هستند که در حین تحقیق مورد سوال و اندازه گیری قرار می گیرند.

آماره چیست؟:

برای محاسبه پارامتر جامعه نمونه ای از جامعه انتخاب می کنیم.( نمونه می تواند کل جامعه باشد(سرشماری)) و مقدار متغیرها ( در این مثال معتاد بودن یا نبودن) را مشاهده می کنیم. حال برای محاسبه پارامتر جامعه نیاز است که به وسیله تابعی ( شاخصی) این مقادیر را به یک عدد تبدیل نمائیم. به این تابع که برای برآورد (تخمین) مقدار پارامتر جامعه از ان استفاده می کنیم آماره می گوییم.

همان گونه که مشخص است مقدار آماره برای یک نمونه ثابت است ولی با تغیر نمونه مقدار ان نیز تغیر می کند بنابراین آماره نیز خود یک تابع تصادفی است.

داده چیست؟:

داده ها مقادیر اندازه گیری شده ( مشاهده شده) یک متغیر می باشند.

واحد آماری چیست؟

هر یک از اعضای جامعه آماری را واحد آماری ( عضو یا عنصر ) می گوییم.

مثال:

اگر تحقیقی در مورد میزان درآمد خانوارهای تهرانی انجام دهیم کلیه خانوارهای تهرانی جامعه اماری و هر خانوار یک عنصر یا واحد آماری می باشد.

مثال:

اگر تحقیقی در مورد میزان محبوبیت یک کاندیدای مجلس شورای اسلامی در شهر تهران انجام دهیم؛ کلیه شهروندان تهرانی که حق رای دارند جامعه آماری و هر شهروند که حق رای دارد یک عنصر یا واحد اماری می باشد.

مثال:

اگر تحقیقی پیرامون میزان طول عمر لامپ های تولیدی شرکت آلفا انجام دهیم کلیه لامپ های تولیدی شرکت آلفا جامعه اماری و هر لامپ یک واحد آماری یا عنصر نامیده می شود.

آزمون ریشه واحد چیست؟

آزمون ریشه واحد، یکی از معمولی ترین آزمون هایی است که امروزه برای تشخیص مانایی ( سکون) یک فرآیند سری زمانی مورد استفاده قرار می گیرد. اساس آزمون ریشه واحد بر این منطق استوار است که وقتی در یک فرایند خود رگرسیونی مرتبه اول  باشد، در آن صورت، سری ناماناست.

آمار چیست؟ آماردان کیست؟

تقریبا هر فردی آمار را به کار می برد و تحت تاثیر کاربردهای آماری قرار دارد.

واژه ی آمار به صورت متعارف و عمومی به داده های عددی اطلاق می شود. مثلا آمار حیاتی شامل داده های عددی درباره تولدها، مرگ ها، ازدواج ها، طلاق ها و بیماریهای مسری است؛ آمار بازرگانی و اقتصادی شامل داده های عددی درباره ی استخدام، تولید، قیمت ها و فروشهاست. آمار اجتماعی شامل داده های عددی درباره مسکن، تخلف و جنایت، اموزش و پرورش و تامین اجتماعی و وضع رفاه است.

اما به مفهوم تخصصی امار به روش شناسی برای گردآوری، ارائه و تحلیل داده ها و به روش شناسی برای موارد استفاده از چنین داده هایی اطلاق می شود.

داده ها ممکن است به صورتی خطرناک گمراه کننده باشند، مگر اینکه

• درست جمع آوری شوند
• به صورت مناسب معرفی
• و به گونه ای صحیح تحلیل شوند.

چون همه ی ما « استفاده کننده » از آمار هستیم، برای همه ما و نه فقط برای آماردانان حرفه ای، کسب شناختی درباره ی روش شناسی آماری حائز اهمیت است.

مفهوم و موضوع اصلی بحث آمار، عمدتا با وضعیت هایی سروکار دارد که در آن ها وقوع یک حادثه یا پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست. استنباطهای اماری غالبا غیر حتمی اند، زیرا بر مبنای اطلاعات ناکاملی هستند. تخمین نرخ جاری بیکاری در یک ناحیه بر مبنای مطالعه روی چند هزار نفر از مردم، یا بررسی یک طرح جدید ترافیک بر مبنای نظر خواهی از تعدادی از افراد یک منطقه مثال هایی از این موضوع اند.

به بیانی آمار، مجموعه ای از مفاهیم و روشهاست که در هر زمینه پژوهش برای گردآوری و تعبیر اطلاعات مربوط به ان و انجام نتیجه گیریها، در شرایطی که عدم حتمیت و تعبیر وجود دارد به کار می رود.

استنباطهای آماری ملاک هایی به دست می دهد که با استفاده از انها می توان معلوم کرد که آیا داده ها، واقعا نتایج را تایید می کنند یا خیر.

آماردان کیست؟:

آماردان دارای معانی متعددی است؛ آماردان را می توان

• به شخصی که عملیات عادی با داده های اماری انجام می دهد
• به تحلیلگری که در روش شناسی آماری به میزان زیاد اموزش دیده و این روش شناسی را در گردآوری و تعبیر داده ها به کار می برد.
• به یک ریاضیدان کاربردی که ریاضیات پیشرفته را در گسترش روشهای آماری جدید به کار می بندد

اطلاق نمود.

ادامه نوشته

دامنه تغیرات چیست؟ و چگونه محاسبه می شود؟

دامنه تغیرات (range) ساده ترین شاخص پراکندگی است و برابر با اختلاف بزرگترین و کوچکترین مشاهده است.
یکی از عیوب دامنه تغیرات این است که تنها به بزرگترین و کوچکترین مشاهده توجه کرده و چگونگی قرار گرفتن مشاهدات بین این دو مقدار را در نظر نمی گیرد.
مثال1: دامنه مشاهدات زیر را به دست آورید
6, 4, 5, 6, 5, 5, 4
R: 6-4=2 

مثال2: دامنه مشاهدات زیر را به دست آورید
19, -30, 20, -7, -15, 31, 17
R: 31-(-30)=21

یکی دیگر از معایب دامنه: اگر مشاهدات شامل داده پرتی باشد دامنه به شدت تحت تاثیر آن قرار می گیرد 

محاسبه شاخص های آماری در زیر گروه ها

اطلاعاتی که در این بخش مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند از فایل hourlywage که شامل چهار متغیر محل کار (position)، سن (agerange)، میزان تجربه بر حسب سال (yrsscale) و حقوق (hourwage) است. محل کار به دو قسمت بیمارستان (hospital) و کلینیک (office) تقسیم شده است.
در مقاله محاسبه شاخص های آماری در گروه ها دیدیم که میان حقوق و تجربه پرستاران شهر رابطه وجود دارد و حقوق با افزایش تجربه افزایش می یابد. با توجه به اینکه حقوق تابع ساده ای از تجربه نیست و موارد دیگر مانند محل خدمت نیز می تواند بر حقوق موثر باشد بنابراین لازم است که رابطه ی حقوق و تجربه را در محل های مختلف خدمت ( بیمارستان و کلینیک) بررسی کنیم.

سطر اول جدول فوق شاخص ها ( آماره ها) را برای پرستارانی که در بیمارستان کار می کنند و کمتر از 5 سال سابقه دارند و سطر دوم شاخص ها ( آماره ها) را برای پرستارانی که در کلینیک کار می کنند و کمتر از 5 سال سابقه دارند ارائه می کند و سطر سوم مجموع دو سطر قبل است. 
اگر به ستون میانگین نگاه کنیم متوجه می شویم که میزان درآمد برای محل های متفاوت، در سطح تجربه یکسان متفاوت است.
همچنین درآمد پرستاران بیمارستان همواره بیشتر از پرستاران کلینیک است.
البته این تفاوت بین کلینیک و بیمارستان باید به خاطر سختی کار و فعالیت بیشتر در بیمارستان باشد.
با نگاه کردن به ستون انحراف معیار متوجه می شویم که پراکندگی حقوق در بین پرستاران کلینیک بیشتر از بیمارستان می باشد و پرستاران بیمارستان به صورت قانونمندتری حقوق دریافت می کنند. البته این پراکندگی برای دو گروه در تمام سطوح تجربه برابر است.
برای به دست آوردن جدول فوق از منوها موارد زیر را انتخاب می کنیم.

Analyze > Compare Means > Means  

کادر گفتگوی Means باز می شود و مانند شکل زیر در قسمت متغیر وابسته (Dependent list) متغیر حقوق (hourwage) و در قسمت متغیر مستقل (Independent list) متغیر تجربه (years experiance) را وارد می کنیم.

در این قسمت لازم است یک لایه به جدول اضافه کنیم بنابراین در قسمت متغیر مستقل (Independent list) بر روی گزینه Next کلیک کرده و متغیر محل خدمت nurse type را به عنوان لایه دوم اضافه کرده ( شکل زیر) و بر روی گزینه ok کلیک می کنیم.

نکات

• اگر متغیر nurse type را در همان لایه اول قرار دهیم دو جدول یکی برای حقوق و تجربه و یکی برای حقوق و محل خدمت به دست می آید.
• اگر در هریک از لایه ها بیشتر از یک متغیر وارد کنیم، Spss برای هر ترکیب موجود یک تحلیل مجزا ارائه می کند.

توزیع نمونه گیری میانگین - قضیه حد مرکزی چیست؟

هر متغیر تصادفی دارای یک توزیع احتمال است. توزیع احتمال یک آماره را اصطلاحا توزیع نمونه گیری آماره می گوئیم. بنابراین توزیع احتمال میانگین های همه نمونه های تصادفی به حجم n را توزیع نمونه گیری میانگین  می گوئیم.
مثال: جامعه ای دارای 5 عنصر 1, 2, 3, 4, 5 است. توزیع نمونه گیری میانگین برای نمونه های 3 تایی را به دست آورید.
همان گونه که از قبل می دانیم برای به دست آوردن توزیع احتمال  نیاز است ابتدا تمام مقادیر  را مشخص کنیم.

لذا توزیع نمونه گیری  به صورت زیر است.

نکته: 
زمانی که صحبت از توزیع نمونه گیری میانگین می شود، منظور توزیع احتمال میانگینتمام نمونه های ممکن به حجم مشخص (مثلا n=3) است.
با توجه به اینکه محاسبه تمام نمونه های ممکن از یک جامعه نامتناهی غیر ممکن است سوالی که در اینج مطرح می شود این است:
آیا می توان توزیع نمونه گیری  را بدون به دست اوردن تمام نمونه های ممکن محاسبه نمود.
قاعده ی 1: 
اگر جامعه دارای توزیع نرمال باشد، برای نمونه هایی با هر حجم مشخص توزیع نرمال است
قاعده ی 2؛ قضیه حد مرکزی: 
در نمونه گیری تصادفی ساده از جامعه ی دلخواهی با میانگین  و انحراف معیار ، وقتی که n (حجم نمونه) بزرگ است توزیع  تقریبا نرمال است
قضیه حد مرکزی چه می گوید: 
قضیه حد مرکزی می گوید که خواه توزیع جامعه پیوسته، گسسته، متقارن یا چاوله باشد، مادام که واریانس جامعه متناهی است، توزیع میانگین نمونه، ، اگر حجم نمونه بزرگ باشد تقریبا نرمال است.
به همین دلیل توزیع نرمال نقش اساسی در توسعه ی روشهای آماری ایفا می کند.